Kalkulus Contoh

$(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $(x + 1) \frac{d y}{d x} - y = e^{x} {(x + 1)}^{2}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari ${(x + 1)}^{2}$ dan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x + 1$ dari $e^{x} {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{(x + 1) (e^{x} (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = \frac{e^{x} (x + 1)}{1}$

Langkah 1.3.2.4

Bagilah $e^{x} (x + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x + 1} = e^{x} (x + 1)$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x + 1} y = e^{x} (x + 1)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.3

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.2.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.3.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$e^{- \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x + 1)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(x + 1)}^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(x + 1)}^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + 1}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (\frac{- 1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} (- \frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} (\frac{1}{x + 1} y) = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{y}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{(x + 1) (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(x + 1)}^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{(x + 1) (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.4.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.4.3

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x + 1) - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.6.2

Kalikan $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} (e^{x} (x + 1))$

Langkah 3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Faktorkan $x + 1$ dari $e^{x} (x + 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Langkah 3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 1} ((x + 1) e^{x})$

Langkah 3.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Langkah 3.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - y}{{(x + 1)}^{2}} = e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] = e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1} y] d x = \int e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x + 1} y = \int e^{x} d x$

Langkah 7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{x + 1} y = e^{x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x + 1} = e^{x} + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x + 1$ .

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x + 1} (x + 1) = (e^{x} + C) (x + 1)$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (e^{x} + C) (x + 1)$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(e^{x} + C) (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Perluas $(e^{x} + C) (x + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = e^{x} (x + 1) + C (x + 1)$

Langkah 8.3.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C (x + 1)$

Langkah 8.3.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = e^{x} x + e^{x} \cdot 1 + C x + C \cdot 1$

Langkah 8.3.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C \cdot 1$

Langkah 8.3.2.1.2.1.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$y = e^{x} x + e^{x} + C x + C$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x + e^{x} + C x + C$ .

$y = x e^{x} + e^{x} + C x + C$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2

Pindahkan $e^{x}$ .

$y = x e^{x} + C x + C + e^{x}$

Langkah 8.3.2.1.2.2.3

Pindahkan $x e^{x}$ .

$y = C x + C + x e^{x} + e^{x}$