Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = g (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y = y$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Sederhanakan $\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1.1

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) y = y$

Langkah 2.1.1.1.1.2

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - (\frac{2}{1} \cot (x)) y = y$

Langkah 2.1.1.1.1.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} - (2 \cot (x)) y = y$

Langkah 2.1.1.1.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y = y$

Langkah 2.1.1.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d y}{d x} - 2 \cot (x) y$ .

$\frac{d y}{d x} - 2 y \cot (x) = y$

Langkah 2.1.2

Tambahkan $2 y \cot (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = y + 2 y \cot (x)$

Langkah 2.2

Faktorkan $y$ dari $y + 2 y \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y^{1} + 2 y \cot (x)$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + 2 y \cot (x)$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $y$ dari $2 y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$

Langkah 2.2.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (2 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = y (1 + 2 \cot (x))$

Langkah 2.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Langkah 2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (1 + 2 \cot (x)))$

Langkah 2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 \cot (x)$

Langkah 2.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = (1 + 2 \cot (x)) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 + 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int \cot (x) d x$

Langkah 3.3.4

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{3})$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = x + 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = x + C$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = x + C$

Langkah 4.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| \sin (x) |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln (\sin^{2} (x)) = x + C$

Langkah 4.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan dengan $1$ .

$\ln (\frac{| y |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = x + C$

Langkah 4.2.1.4

Pisahkan pecahan.

$\ln (\frac{| y |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = x + C$

Langkah 4.2.1.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ke $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y |}{1} \csc^{2} (x)) = x + C$

Langkah 4.2.1.6

Bagilah $| y |$ dengan $1$ .

$\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$

Langkah 4.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y | \csc^{2} (x))} = e^{x + C}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\ln (| y | \csc^{2} (x)) = x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y | \csc^{2} (x)$

Langkah 4.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ .

$| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$

Langkah 4.5.2

Bagi setiap suku pada $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ dengan $\csc^{2} (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Bagilah setiap suku di $| y | \csc^{2} (x) = e^{x + C}$ dengan $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.2.2.1.2

Bagilah $| y |$ dengan $1$ .

$| y | = \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{x + C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $e^{x + C}$ sebagai $e^{x} e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{x} e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 5.2

Susun kembali $e^{x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \frac{e^{C} e^{x}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 5.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{C e^{x}}{\csc^{2} (x)}$