Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x y)}^{2}}$ , $y (1) = 3$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} y^{2}}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{x^{2} y^{2}}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x^{2}}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.4.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C_{2}$ sebagai $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (- \frac{1}{x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $3 (- \frac{1}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{x} + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{3} = - \frac{3}{x} + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{- \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $3$ dari $- \frac{3}{x} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $- \frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x}) + 3 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{x} + \frac{K x}{x})}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K x}{x}}$

Langkah 3.4.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{- 1 + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + K x)}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 3.4.6

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 3.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 3.4.7.2

Naikkan $\sqrt[3]{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 3.4.7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Langkah 3.4.7.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Langkah 3.4.7.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 3.4.7.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 3.4.7.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.7.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 3.4.7.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Langkah 3.4.7.5.5

Sederhanakan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Langkah 3.4.8

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$

Langkah 3.4.10

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ .

$3 = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 1^{2} (- 1 + K \cdot 1)}}{1}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$ .

$\frac{\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}{1} = 3$

Langkah 5.2

Bagilah $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ dengan $1$ .

$\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))} = 3$

Langkah 5.3

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}}^{3} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1))}$ sebagai ${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Sederhanakan ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(3 \cdot (1^{2} (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

${(3 \cdot (1 (- 1 + K \cdot 1)))}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.1.3

Kalikan $- 1 + K \cdot 1$ dengan $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K \cdot 1))}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.1.4

Kalikan $K$ dengan $1$ .

${(3 \cdot (- 1 + K))}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(3 \cdot - 1 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

${(- 3 + 3 K)}^{1} = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.2.1.3.2

Sederhanakan.

$- 3 + 3 K = 3^{3}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- 3 + 3 K = 27$

Langkah 5.3.3

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$3 K = 27 + 3$

Langkah 5.3.3.1.2

Tambahkan $27$ dan $3$ .

$3 K = 30$

Langkah 5.3.3.2

Bagi setiap suku pada $3 K = 30$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 K = 30$ dengan $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Langkah 5.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 K}{3} = \frac{30}{3}$

Langkah 5.3.3.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{30}{3}$

Langkah 5.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.3.1

Bagilah $30$ dengan $3$ .

$K = 10$

Langkah 6

Substitusikan $10$ untuk $K$ dalam $y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $10$ untuk $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (- 1 + 10 x)}}{x}$