Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{3 y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x + 1}{y \cdot 3}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{2 x + 1}{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 x + 1}{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int 2 x + 1 d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\int 2 x d x + \int d x)$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 \int x d x + \int d x)$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int d x)$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + x + C_{3})$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} (x^{2} + x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{3} (x^{2} + x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} x + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} x + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{2}}{3} + \frac{x}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 \frac{x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + 2 \frac{x}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{2 x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{2} + 2 x}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x) + 2 x (1)}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (x) + 2 x (1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Gabungkan $2 K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1)}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (x + 1) + 2 K \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (x + 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.5.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)}{3}}$

Langkah 3.4.5.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x (x + 1)) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x (x + 1) + K \cdot 3)}{3}}$

Langkah 3.4.5.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Langkah 3.4.5.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + K \cdot 3)}{3}}$

Langkah 3.4.5.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + K \cdot 3)}{3}}$

Langkah 3.4.5.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$

Langkah 3.4.6

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2 (x^{2} + x + 3 K)}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.8.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.8.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.9.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{2} + x + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.9.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + 3 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{2} + x + K)}}{3}$