Kalkulus Contoh

$(3 e^{3 x} y - 2 x) d x + e^{3 x} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 e^{3 x} y - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y - 2 x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 e^{3 x} y - 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 e^{3 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3 e^{3 x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 e^{3 x} y$ terhadap $y$ adalah $3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x} + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $3 e^{3 x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{3 x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} (3 \cdot 1)$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{3 x} \cdot 3$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 e^{3 x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 e^{3 x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 e^{3 x} = 3 e^{3 x}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{3 x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{3 x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{3 x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 e^{3 x} y - 2 x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{3 x} y - 2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} - 2 x$

Langkah 9.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangkan $3 y e^{3 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$

Langkah 9.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 y e^{3 x} - 2 x - 3 y e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.2.1

Kurangi $3 y e^{3 x}$ dengan $3 y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Langkah 9.1.2.2.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Langkah 10

Temukan $- 2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Langkah 10.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{3 x} y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{3 x} - x^{2} + C$