Kalkulus Contoh

$y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y$ dan $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.6

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Langkah 1.3.8

Kalikan $1 + x y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Langkah 1.4

Tambahkan $y x$ dan $x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y - x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Langkah 2.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x y + 1 = - 1$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x y + 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y (1 + x y)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y (1 + x y)$ untuk $M$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 - (2 x y + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Susun kembali $- 1$ dan $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 x y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.3.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $x y + 1$ dan $1 + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Langkah 4.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{y}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $y (1 + x y)$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y (1 + x y) d x + (2 y - x) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y (1 + x y)$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $1 + x y$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $2 y - x$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + (2 y - x) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $2 y - x$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x + \frac{2 y - x}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + x y}{y} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{1 + x y}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{x y}{y} d x$

Langkah 8.3.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int x d x$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int x d x$

Langkah 8.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int x d x$

Langkah 8.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.4

Karena $\frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.6.2.2

Tambahkan $- \frac{x}{y^{2}}$ dan $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 11.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{2 y - x}{y^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{2 y - x}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{2 y - x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y - x)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - (2 y) - - x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y - - x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + 1 x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x - 2 y + x}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $- x - 2 y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y + 0}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- 2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2 y}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 2}{y \cdot y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 2}{y} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d g}{d y} - \frac{2}{y} = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $\frac{2}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Langkah 13

Temukan $\frac{2}{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Langkah 13.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 13.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 15.2

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Langkah 15.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + \ln (y^{2}) + C$