Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 3$

Langkah 1

Biarkan $v = \frac{d y}{d x}$ . Kemudian $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitusikan $v$ untuk $\frac{d y}{d x}$ dan $\frac{d v}{d x}$ untuk $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel dependen $v$ dan variabel independen $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 3$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C_{1}}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 3$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 3$

Langkah 3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 \cdot e^{3 x}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 3 e^{3 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 3 e^{3 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 3 e^{3 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x} v = \int 3 e^{3 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 x} v = 3 \int e^{3 x} d x$

Langkah 7.2

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Kemudian $d u_{1} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Biarkan $u_{1} = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.2.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Langkah 7.3

Gabungkan $e^{u_{1}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} v = 3 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Langkah 7.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} v = 3 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x} v = \frac{3}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x} v = 1 \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.5.3

Kalikan $\int e^{u_{1}} d u_{1}$ dengan $1$ .

$e^{3 x} v = \int e^{u_{1}} d u_{1}$

Langkah 7.6

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$e^{3 x} v = e^{u_{1}} + C_{2}$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ dengan $e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x} v = e^{3 x} + C_{2}$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$v = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Langkah 10

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}}) d x$

Langkah 11

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Langkah 11.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = \int 1 + \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Langkah 11.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{3} = \int d x + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Langkah 11.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{3} = x + C_{4} + \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Langkah 11.3.3

Karena $C_{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $C_{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Langkah 11.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.1

Tiadakan eksponen dari $e^{3 x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Langkah 11.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.4.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Langkah 11.3.4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Langkah 11.3.4.2.2

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $1$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Langkah 11.3.5

Biarkan $u_{2} = - 3 x$ . Kemudian $d u_{2} = - 3 d x$ sehingga $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1

Biarkan $u_{2} = - 3 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.5.1.1

Diferensialkan $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 11.3.5.1.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Langkah 11.3.5.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3$

Langkah 11.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Langkah 11.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Langkah 11.3.6.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Langkah 11.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2})$

Langkah 11.3.8

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Langkah 11.3.9

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = x + C_{4} + C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C_{5}))$

Langkah 11.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.10.1

Sederhanakan.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} C_{2} e^{u_{2}} + C_{6}$

Langkah 11.3.10.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{u_{2}}}{3} C_{2} + C_{6}$

Langkah 11.3.11

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 3 x$ .

$y + C_{3} = x - \frac{e^{- 3 x}}{3} C_{2} + C_{6}$

Langkah 11.3.12

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = x - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{6}$

Langkah 11.3.13

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + x + C_{6}$

Langkah 11.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + x + D$