Kalkulus Contoh

$\frac{d f}{d t} = 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d f = (4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d f = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$f + C_{1} = \int 4 t + \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f + C_{1} = \int 4 t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 4 \int t d t + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \frac{7 t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.3.4

Karena $7$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{t}{\sqrt{25 - t^{2}}} d t$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = 25 - t^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 t d t$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = 25 - t^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $25 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [25 - t^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $25 - t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Karena $25$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $25$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 2.3.5.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 t)$

Langkah 2.3.5.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 t$

Langkah 2.3.5.1.4

Kurangi $2 t$ dengan $0$ .

$- 2 t$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.3.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.3.6.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.3.6.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + 7 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 7$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.10.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.10.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.10.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.10.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.10.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Langkah 2.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Sederhanakan.

$f + C_{1} = 2 t^{2} - \frac{7}{2} (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 2 (\frac{7}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{7}{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.3

Kalikan $- 2$ dengan $7$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.4

Gabungkan $\frac{- 14}{2}$ dan $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 14 u^{\frac{1}{2}}}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.5

Faktorkan $2$ dari $- 14 u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{2 (- 7 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f + C_{1} = 2 t^{2} + \frac{- 7 u^{\frac{1}{2}}}{1} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.6.4

Bagilah $- 7 u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $25 - t^{2}$ .

$f + C_{1} = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$f = 2 t^{2} - 7 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$