Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = {(64 x y)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $64 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = {(64 x)}^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $64 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 64^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $64$ sebagai $4^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = 4^{3 (\frac{1}{3})} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = 4^{1} x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (4 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.3.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Faktorkan $y^{\frac{1}{3}}$ dari $x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{\frac{1}{3}}} (y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{\frac{1}{3}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int y^{- \frac{1}{3}} d y = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- \frac{1}{3}}$ terhadap $y$ adalah $\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \int 4 x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 \int x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $4 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2})$ sebagai $4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 4 (\frac{3}{4}) x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{12}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 (1)} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} + C_{1} = 3 x^{\frac{4}{3}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}} = 3 x^{\frac{4}{3}} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}}) = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{2}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Gabungkan.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 y^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{\frac{2}{3}}}{3} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.1.1.6

Bagilah $y^{\frac{2}{3}}$ dengan $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 (x^{\frac{4}{3}})) + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (3 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $K$ .

$y^{\frac{2}{3}} = 2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3}$

Langkah 3.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $\frac{3}{2}$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{1} = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Sederhanakan.

$y = \pm {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + \frac{2 K}{3})}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$

$y = - {(2 x^{\frac{4}{3}} + K)}^{\frac{3}{2}}$