Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{y}$ , $y (- 1) = - 2$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x^{2}}{y}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = 6 x^{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = 6 x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 6 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{1} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = 2 x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (2 x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (2 x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (2 x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (2 x^{3}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{2} = 4 x^{3} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{4 x^{3} + 2 K}$

Langkah 3.4

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3}) + 2 K}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$

Langkah 4

Karena $y$ negatif pada sarat awal $(- 1, - 2)$ , hanya pertimbangkan $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ untuk menentukan $K$ . Substitusikan $- 1$ untuk $x$ dan $- 2$ untuk $y$ .

$- 2 = - \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$ .

$- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)} = - 2$

Langkah 5.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(- \sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (2 {(- 1)}^{3} + K)}$ sebagai ${(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan ${(- {(2 (2 {(- 1)}^{3} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

${(- {(2 (2 \cdot - 1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

${(- {(2 (- 2 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

${(- {(2 \cdot - 2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

${(- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- {(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.4

Kalikan ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ dengan $1$ .

${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.5

Kalikan eksponen dalam ${({(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.2.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(- 4 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.2.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(- 4 + 2 K)}^{1} = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.2.1.3

Sederhanakan.

$- 4 + 2 K = {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 4 + 2 K = 4$

Langkah 5.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$2 K = 4 + 4$

Langkah 5.4.1.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$2 K = 8$

Langkah 5.4.2

Bagi setiap suku pada $2 K = 8$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 K = 8$ dengan $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Langkah 5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 K}{2} = \frac{8}{2}$

Langkah 5.4.2.2.1.2

Bagilah $K$ dengan $1$ .

$K = \frac{8}{2}$

Langkah 5.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Bagilah $8$ dengan $2$ .

$K = 4$

Langkah 6

Substitusikan $4$ untuk $K$ dalam $y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + K)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $4$ untuk $K$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 4)}$

Langkah 6.2

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3} + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3}$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3}) + 4)}$

Langkah 6.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y = - \sqrt{2 (2 x^{3} + 2 \cdot 2)}$

Langkah 6.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3} + 2 \cdot 2$ .

$y = - \sqrt{2 (2 (x^{3} + 2))}$

$y = - \sqrt{2 \cdot 2 (x^{3} + 2)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y = - \sqrt{4 (x^{3} + 2)}$

Langkah 6.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = - \sqrt{2^{2} (x^{3} + 2)}$

Langkah 6.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = - (2 \sqrt{x^{3} + 2})$

Langkah 6.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = - 2 \sqrt{x^{3} + 2}$