Kalkulus Contoh

$(x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + 3 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 x y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x + 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 3 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x + 2 y = 2 x + 3 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x + 2 y = 2 x + 3 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x + 3 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x + 3 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x + 2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x + 3 y - (x + 2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y + y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y + y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{2 x + 3 y - (x + 2 y)}{x y + y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x + 3 y - x - (2 y)}{x y + y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x + 3 y - x - 2 y}{x y + y^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$\frac{x + 3 y - 2 y}{x y + y^{2}}$

Langkah 4.3.2.4

Kurangi $2 y$ dengan $3 y$ .

$\frac{x + y}{x y + y^{2}}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $y$ dari $x y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{x + y}{y x + y^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{x + y}{y x + y \cdot y}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y x + y \cdot y$ .

$\frac{x + y}{y (x + y)}$

Langkah 4.3.4

Substitusikan $x y + y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x + y}{y (x + y)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | y | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x y + y^{2}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$ dengan faktor integral $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y + y^{2}$ dengan $y$ .

$(x y + y^{2}) y d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x y \cdot y + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $y$ .

$(x (y \cdot y) + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.3.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(x y^{2} + y^{2} y) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(x y^{2} + y^{2} y^{1}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x y^{2} + y^{2 + 1}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.4.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} + 3 x y) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x^{2} + 3 x y$ dengan $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} + 3 x y) y d y = 0$

Langkah 6.6

Terapkan sifat distributif.

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x y \cdot y) d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Pindahkan $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x (y \cdot y)) d y = 0$

Langkah 6.7.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$(x y^{2} + y^{3}) d x + (x^{2} y + 3 x y^{2}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} + y^{3} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = x y^{2} + y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int y^{3} d x$

Langkah 8.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y^{3} d x$

Langkah 8.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Langkah 8.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 8.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 8.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + C$

Langkah 8.7

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.3.7.2

Bagilah $x^{2} y$ dengan $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} y + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 11.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + 3 y^{2} x = x^{2} y + 3 x y^{2}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} y + 3 x y^{2} - x^{2} y - 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $x^{2} y$ dengan $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} + 0 - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $3 x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.3.4

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 13

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 13.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 13.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y^{3} x + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y^{3} x + C$