Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 5 y = x$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 5 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 5 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 5 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 5 x} (- 5 y) = e^{- 5 x} x$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 e^{- 5 x} y = e^{- 5 x} x$ .

$e^{- 5 x} \frac{d y}{d x} - 5 y e^{- 5 x} = x e^{- 5 x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] = x e^{- 5 x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 5 x} y] d x = \int x e^{- 5 x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 5 x} y = \int x e^{- 5 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 5 x}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{1}{5} e^{- 5 x}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = x (- \frac{e^{- 5 x}}{5}) - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 6.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \int - \frac{1}{5} e^{- 5 x} d x$

Langkah 6.3

Karena $- \frac{1}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - (- \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + 1 (\frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x)$

Langkah 6.4.2

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $1$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{- 5 x} d x$

Langkah 6.5

Biarkan $u = - 5 x$ . Kemudian $d u = - 5 d x$ sehingga $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Biarkan $u = - 5 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Diferensialkan $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$

Langkah 6.5.1.2

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 5 \cdot 1$

Langkah 6.5.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- 5$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{- 5} d u$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int e^{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Langkah 6.6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} \int - \frac{e^{u}}{5} d u$

Langkah 6.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- \int \frac{e^{u}}{5} d u)$

Langkah 6.8

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} + \frac{1}{5} (- (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))$

Langkah 6.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Langkah 6.9.2

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Langkah 6.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Langkah 6.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.1

Tulis kembali $- \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} x e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 6.11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x}{5} e^{- 5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 6.11.2.2

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{x}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Langkah 6.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 5 x$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 6.13

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x} x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Langkah 6.14

Susun kembali suku-suku.

$e^{- 5 x} y = - \frac{1}{5} e^{- 5 x} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{e^{- 5 x}}{5} x - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 7.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 5 x}}{5}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{1}{25} e^{- 5 x} + C$

Langkah 7.1.3

Gabungkan $e^{- 5 x}$ dan $\frac{1}{25}$ .

$e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$

Langkah 7.2

Bagi setiap suku pada $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ dengan $e^{- 5 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 5 x} y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} + C$ dengan $e^{- 5 x}$ .

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 5 x} y}{e^{- 5 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 5 x}}{5}}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{5} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ dengan $\frac{x e^{- 5 x}}{5}$ .

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{5} + \frac{- \frac{e^{- 5 x}}{25}}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{25} \cdot \frac{1}{e^{- 5 x}} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.5

Kalikan $\frac{1}{e^{- 5 x}}$ dengan $\frac{e^{- 5 x}}{25}$ .

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 5 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{e^{- 5 x}}{e^{- 5 x} \cdot 25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$

Langkah 7.2.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{5} - \frac{1}{25} + \frac{C}{e^{- 5 x}}$