Kalkulus Contoh

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $(x + 1) \frac{d y}{d x} + (x + 2) y = 2 e^{- x}$ dengan $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x + 1) \frac{d y}{d x}}{x + 1} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(x + 2) y}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x + 2}{x + 1} y = \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{x + 2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{x + 2}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{x + 2}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $x + 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$2$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$2$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			+	$x$	+	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$2$
			-	$x$	-	$1$
					+	$1$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x}$

Langkah 2.2.4

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.2.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$e^{x + \ln (| x + 1 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x + \ln (x + 1)}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{x + 2}{x + 1} y) = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{x + 2}{x + 1}$ dan $y$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x + 1)} \frac{(x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dan $\frac{(x + 2) y}{x + 1}$ .

$e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)}{x + 1} + \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dari $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Faktorkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dari $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{d y}{d x} (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5.1.2

Faktorkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dari $e^{x + \ln (x + 1)} (x + 2) y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5.1.3

Faktorkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dari $e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1)) + e^{x + \ln (x + 1)} ((x + 2) y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} (x + 1) + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + (x + 2) y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.5.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$

Langkah 3.6

Kalikan $e^{x + \ln (x + 1)} \frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dan $\frac{2 e^{- x}}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{x + \ln (x + 1)} (2 e^{- x})}{x + 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dengan $e^{- x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Pindahkan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x} e^{x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{- x + x + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.6.2.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{0 + \ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.6.2.4

Tambahkan $0$ dan $\ln (x + 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{e^{\ln (x + 1)} \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.7

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = \frac{(x + 1) \cdot 2}{x + 1}$

Langkah 3.8.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Langkah 3.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} (x \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + x y + 2 y)}{x + 1} = 2$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] = 2$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x + 1)} y] d x = \int 2 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = \int 2 d x$

Langkah 7

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ dengan $e^{x + \ln (x + 1)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x + \ln (x + 1)} y = 2 x + C$ dengan $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x + \ln (x + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x + \ln (x + 1)} y}{e^{x + \ln (x + 1)}} = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{x + \ln (x + 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x + 1)}}$