Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x$ , $y (0) = 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 x d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int x d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{2}{2} x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 x^{2} + C}$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$e^{x^{2} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x^{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{2}} (2 x y) = e^{x^{2}} x$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$

Langkah 2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 e^{x^{2}} (x y) = e^{x^{2}} x$ .

$e^{x^{2}} \frac{d y}{d x} + 2 x y e^{x^{2}} = x e^{x^{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] = x e^{x^{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{2}} y] d x = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x^{2}} y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 6.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 6.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 6.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 6.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{x^{2}} y = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 6.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x^{2}} y = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x^{2}} y}{e^{x^{2}}} = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{1}{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}}} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ .

$1 = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 1$

Langkah 9.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Langkah 9.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 1$

Langkah 9.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 1$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kurangkan $\frac{1}{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 1 - \frac{1}{2}$

Langkah 9.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$C = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{2 - 1}{2}$

Langkah 9.3.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$C = \frac{1}{2}$

Langkah 10

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{1}{2} + \frac{C}{e^{x^{2}}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $\frac{1}{2}$ untuk $C$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{\frac{1}{2}}{e^{x^{2}}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{x^{2}}}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan.

$y = \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 e^{x^{2}}}$

Langkah 10.2.3

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 e^{x^{2}}}$