Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x} y^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} ((x + 1) e^{- x} y^{2})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $(x + 1) e^{- x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} ((x + 1) e^{- x}))$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = (x + 1) e^{- x}$

Langkah 1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + 1 e^{- x}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (x e^{- x} + e^{- x}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} + e^{- x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u_{1} = - x$ . Kemudian $d u_{1} = - d x$ sehingga $- d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u_{1} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.7

Integral dari $e^{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.8

Biarkan $u_{2} = - x$ . Kemudian $d u_{2} = - d x$ sehingga $- d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Biarkan $u_{2} = - x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.8.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.10

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u_{1}} + C_{2}) - (e^{u_{2}} + C_{3})$

Langkah 2.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u_{1}} - e^{u_{2}} + C_{4}$

Langkah 2.3.11.2

Kurangi $e^{u_{2}}$ dengan $- e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{u_{1}} + C_{4}$

Langkah 2.3.12

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x e^{- x} - 2 e^{- x} + C_{4}$

Langkah 2.3.13

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - e^{- x} x - 2 e^{- x} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x y - 2 e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- x y e^{- x} - 2 y e^{- x} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- x y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) - 2 y e^{- x} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y e^{- x}$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.4

Faktorkan $y$ dari $y (- x e^{- x}) + y (- 2 e^{- x})$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.5

Faktorkan $y$ dari $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x}) + y K$ .

$y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ dengan $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K) = - 1$ dengan $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K)}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{- x e^{- x} - 2 e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- x e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + K}$

Langkah 3.3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (x e^{- x}) - (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) + K}$

Langkah 3.3.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)}$

Langkah 3.3.3.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.3.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.7.1

Tulis kembali $- (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ sebagai $- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (x e^{- x} + 2 e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.3.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Langkah 3.3.3.3.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Langkah 3.3.3.3.7.4

Kalikan $\frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} - K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{1}{x e^{- x} + 2 e^{- x} + K}$