Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x^{2} + x + 1$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} + x + 1 d x$

Langkah 1.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2} d x + \int x d x + \int d x$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \int x d x + \int d x$

Langkah 1.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Langkah 1.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Langkah 1.6

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4} d x$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \int \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{5} = \int \frac{1}{3} x^{3} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} \int x^{3} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{6}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

Langkah 3.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.8.1

Sederhanakan.

$y + C_{5} = \frac{x^{4}}{12} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C_{4} x + C_{10}$

Langkah 3.3.8.2

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{5} = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{1}{12} x^{4} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$