Kalkulus Contoh

$e^{x} \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $e^{x} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{y^{2}}{e^{x}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{y^{2}}{e^{x}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{e^{x}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{x}}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} e^{x}}$

Langkah 1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{x}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 2.3.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 1 e^{- x} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.2.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{u} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = - e^{- x} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = - e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - e^{- x} y + K y$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} y + K y$ .

$- 1 = - y e^{- x} + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- y e^{- x} + K y = - 1$ .

$- y e^{- x} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $- y e^{- x} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y e^{- x}$ .

$y (- 1 e^{- x}) + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (- 1 e^{- x}) + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 1 e^{- x}) + y K$ .

$y (- 1 e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$y (- e^{- x} + K) = - 1$

Langkah 3.3.4

Bagi setiap suku pada $y (- e^{- x} + K) = - 1$ dengan $- e^{- x} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y (- e^{- x} + K) = - 1$ dengan $- e^{- x} + K$ .

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- e^{- x} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- e^{- x} + K)}{- e^{- x} + K} = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{- e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{- e^{- x} + K}$

Langkah 3.3.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- x}$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) + K}$

Langkah 3.3.4.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x}) - 1 (- K)}$

Langkah 3.3.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = - \frac{1}{- (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.5.1

Tulis kembali $- (e^{- x} - K)$ sebagai $- 1 (e^{- x} - K)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (e^{- x} - K)}$

Langkah 3.3.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - - \frac{1}{e^{- x} - K}$

Langkah 3.3.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{e^{- x} - K}$

Langkah 3.3.4.3.5.4

Kalikan $\frac{1}{e^{- x} - K}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{e^{- x} - K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{1}{e^{- x} + K}$