Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (2 x + 2)}{x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (\frac{2 x + 2}{x^{2}}))$

Langkah 1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{2 x + 2}{x^{2}})$

Langkah 1.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 2}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x) + 2 (1)}{x^{2}}$

Langkah 1.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{2 (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Kalikan $(x + 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.4.1.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x)$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} + \int x^{- 2} d x)$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2} - x^{- 1} + C_{3})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\ln (| x |) - \frac{1}{x}) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menuliskan $\ln (| x |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = 2 (\frac{\ln (| x |) x}{x} - \frac{1}{x}) + C$

Langkah 3.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{y} = 2 \frac{\ln (| x |) x - 1}{x} + C$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{\ln (| x |) x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, x, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, x, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 3.2.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} + C$ dengan $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y x) = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (y x) + C (y x)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- x = \frac{2 (\ln (| x |) x - 1)}{x} (x y) + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- x = 2 (\ln (| x |) x - 1) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- x = (2 (\ln (| x |) x) + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.3

Kalikan $2 (\ln (| x |) x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Susun kembali $\ln (| x |)$ dan $2$ .

$- x = (2 \cdot \ln (| x |) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.3.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x + 2 \cdot - 1) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- x = (\ln ({| x |}^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.5

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- x = (\ln (x^{2}) x - 2) y + C (y x)$

Langkah 3.3.3.1.6

Terapkan sifat distributif.

$- x = \ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{2}) x y - 2 y + C y x$ .

$- x = x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$ .

$x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x = - x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $x y \ln (x^{2}) - 2 y + C y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y \ln (x^{2})$ .

$y (x \ln (x^{2})) - 2 y + C y x = - x$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + C y x = - x$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $C y x$ .

$y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2 + y (C x) = - x$

Langkah 3.4.2.4

Faktorkan $y$ dari $y (x \ln (x^{2})) + y \cdot - 2$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x) = - x$

Langkah 3.4.2.5

Faktorkan $y$ dari $y (x \ln (x^{2}) - 2) + y (C x)$ .

$y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ dengan $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x) = - x$ dengan $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x \ln (x^{2}) - 2 + C x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x \ln (x^{2}) - 2 + C x)}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x} = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x}{x \ln (x^{2}) - 2 + C x}$