Kalkulus Contoh

$(e^{x} - y) d x + (e^{y} - x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{x} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} - y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} - y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.2.2

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 1$

Langkah 1.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{y} - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} - x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.2

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 1$

Langkah 2.4

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = - 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 1 = - 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} - x d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = e^{y} - x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int - x d y$

Langkah 5.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int - x d y$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{y} + C - x y + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = e^{y} - x y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} - x y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x} - y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} - x y + g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{y} - x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.2.2

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{x} - y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = e^{x} - y$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kurangi $y$ dengan $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = e^{x} - y$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y = e^{x} - y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = e^{x} - y + y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $e^{x} - y + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Langkah 10

Temukan $e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Langkah 10.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{y} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} - x y + e^{x} + C$