Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3$ , $y (9) = 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} + 3 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + \int 3 d x$

Langkah 2.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + 3 x + C_{4}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $9$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Langkah 4.2

Sederhanakan $3 \cdot 9 + 9^{\frac{1}{2}} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$27 + 9^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$27 + {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Langkah 4.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 + 3^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Langkah 4.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 + 3^{1} + K = 1$

Langkah 4.2.1.5

Evaluasi eksponennya.

$27 + 3 + K = 1$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $27$ dan $3$ .

$30 + K = 1$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $30$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 1 - 30$

Langkah 4.3.2

Kurangi $30$ dengan $1$ .

$K = - 29$

Langkah 5

Substitusikan $- 29$ untuk $K$ dalam $y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 29$ untuk $K$ .

$y = 3 x + x^{\frac{1}{2}} - 29$