Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 d x$

Langkah 1.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{d y}{d x} = \int 4 x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Langkah 1.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{d y}{d x} = 4 \int x^{3} d x + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Langkah 1.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + \int 3 x^{2} d x + \int d x$

Langkah 1.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 \int x^{2} d x + \int d x$

Langkah 1.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int d x$

Langkah 1.7

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

Langkah 1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

Langkah 1.8.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + x + C_{3}$

Langkah 1.8.2

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = x^{4} + x^{3} + x + C_{4}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x^{4} + x^{3} + x + C_{4}) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \int x^{4} + x^{3} + x + C_{4} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{5} = \int x^{4} d x + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \int x d x + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + \int C_{4} d x$

Langkah 3.3.5

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + C_{6} + \frac{1}{4} x^{4} + C_{7} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{8} + C_{4} x + C_{9}$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{5} = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} x + C_{10}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$