Kalkulus Contoh

$(2 x e^{y} + e^{x}) d x + (x^{2} + 1) e^{y} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x e^{y} + e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y} + e^{x}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x e^{y} + e^{x}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x e^{y}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Langkah 1.4

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + 0$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tambahkan $2 x e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Langkah 1.5.2

Susun kembali faktor-faktor dari $2 x e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x$

Langkah 1.5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$

Langkah 2.2

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(x^{2} + 1) e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x + 0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} (2 x)$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot e^{y} x$

Langkah 2.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x e^{y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x e^{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x e^{y} = 2 x e^{y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int (x^{2} + 1) e^{y} d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $x^{2} + 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{2} + 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) \int e^{y} d y$

Langkah 5.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) (e^{y} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $(x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $(x^{2} + 1) e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{y} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{y} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{y}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = 2 x e^{y} + e^{x}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 x e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x e^{y} + e^{x} - 2 x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $2 x e^{y}$ dengan $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{x}$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{x}$

Langkah 10

Temukan $e^{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = e^{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int e^{x} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int e^{x} d x$

Langkah 10.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$g (x) = e^{x} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{2} + 1) e^{y} + e^{x} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + 1 e^{y} + e^{x} + C$

Langkah 12.2

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{y} + e^{y} + e^{x} + C$