Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y + 2)}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y + 2$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan $u^{6}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{6})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 6}$ terhadap $u$ adalah $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{u^{5}}$ dengan $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.4.2.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Langkah 2.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $- 1$ untuk $y$ padda $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ .

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Langkah 4.2

Tambahkan $0$ dan $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1.1

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Langkah 4.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{1}{5}$ untuk $K$ dalam $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{1}{5}$ untuk $K$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$