Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pisahkan $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Pisahkan pecahan $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} - x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - x y}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (- 1 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 1 y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - y)}{x y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.3

Pisahkan pecahan $\frac{x - y}{y}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} + \frac{- y}{y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.4.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 1.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{x y}$

Langkah 1.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Langkah 1.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y \cdot y}{y x}$

Langkah 1.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - 1 + \frac{y}{x}$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{- 1} - 1 + \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V^{- 1} - 1 + V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V^{- 1} - 1 + V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{V} - 1 + V$

Langkah 6.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + V - V$

Langkah 6.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{1}{V} - 1 + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1 + 0$

Langkah 6.1.1.2.2.2

Tambahkan $\frac{1}{V} - 1$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} - 1$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} + \frac{- 1}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Untuk menuliskan $- \frac{1}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{V}{V}$

Langkah 6.1.2.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $V x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{x V}$

Langkah 6.1.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dari $x V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x} - \frac{V}{V x}$

Langkah 6.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V x}$

Langkah 6.1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{V}{1 - V}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} (\frac{1 - V}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.1

Kalikan $\frac{1 - V}{V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Langkah 6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.2.1

Faktorkan $V$ dari $V x$ .

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V (x)}$

Langkah 6.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{V x}$

Langkah 6.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Langkah 6.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 - V} \cdot \frac{1 - V}{x}$

Langkah 6.1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{V}{1 - V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{V}{1 - V} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{V}{1 - V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Susun kembali $1$ dan $- V$ .

$\int \frac{V}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Bagilah $V$ dengan $- V + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$V$

$1$

$V$

$0$

Langkah 6.2.2.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $V$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $- V$ .

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$

Langkah 6.2.2.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				+	$V$	-	$1$

Langkah 6.2.2.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $V - 1$

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$

Langkah 6.2.2.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				-	$1$
-	$V$	+	$1$		$V$	+	$0$
				-	$V$	+	$1$
						+	$1$

Langkah 6.2.2.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int - 1 + \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d V + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Terapkan aturan konstanta.

$- V + C_{1} + \int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.5

Biarkan $u = - V + 1$ . Kemudian $d u = - d V$ sehingga $- d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.5.1

Biarkan $u = - V + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.5.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 6.2.2.5.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.2.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$- V + C_{1} + \int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- V + C_{1} + \int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- V + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- V + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.9

Sederhanakan.

$- V - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- V + 1$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- V - \ln (| - V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 8

Selesaikan $- \frac{y}{x} - \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = \frac{y}{x} + C$

Langkah 8.2

Tambahkan $\ln (| x |)$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$

Langkah 8.3

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{y}{x} + C + \ln (| x |)$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)}{1} = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.2.2

Bagilah $\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = \frac{\frac{y}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{y}{x}}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - 1 \cdot \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{y}{x}$ sebagai $- \frac{y}{x}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Langkah 8.3.3.1.5

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Langkah 8.3.3.1.6

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (| x |)$ sebagai $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) = - \frac{y}{x} - C - \ln (| x |)$

Langkah 8.4

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 |) + \ln (| x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.5

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - \frac{y}{x} + 1 | | x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.6

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (- \frac{y}{x} + 1) x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.7

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| - \frac{y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| \frac{- y}{x} \cdot x + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| - y + 1 x |) = - \frac{y}{x} - C$

Langkah 8.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| - y + x |) = - \frac{y}{x} - C$