Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $(1 + y^{2}) \tan (x)$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ terhadap $y$ adalah $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Langkah 3

Ambil balikan arctangen dari kedua sisi persamaan untuk mengambil $y$ dari dalam arctangen.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $\sqrt{3}$ untuk $y$ padda $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ .

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Langkah 5

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ .

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Langkah 5.2

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $C$ dari dalam tangen.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan $| \sec (0) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Nilai eksak dari $\sec (0)$ adalah $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 5.3.1.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Nilai eksak dari $\arctan (\sqrt{3})$ adalah $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Langkah 5.5

Bagilah $3.14159265$ dengan $3$ .

$1 = 1.04719755$

Langkah 5.6

Karena $1 \neq 1.04719755$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5.7

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Langkah 5.8

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Sederhanakan $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Bagilah $3.14159265$ dengan $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Langkah 5.8.1.2

Tambahkan $3.14159265$ dan $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Langkah 5.8.2

Karena $1 \neq 4.1887902$ , tidak ada penyelesaian.

$Tidak ada penyelesaian$