Kalkulus Contoh

$y d x + (1 - x) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 - x) d y = - y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1 - x$ dari $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} (- y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 - x) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) y} y d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 - x)} y d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u = 1 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u = 1 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 4.3.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int \frac{1}{u} d u$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Langkah 5.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$

Langkah 5.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |})} = e^{C}$

Langkah 5.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{| 1 - x |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| 1 - x |}$

Langkah 5.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} = e^{C}$

Langkah 5.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| 1 - x |$ .

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| 1 - x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{C} | 1 - x |$

Langkah 5.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} | 1 - x |$

Langkah 5.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | 1 - x |$ .

$| y | = | 1 - x | e^{C}$

Langkah 5.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 - x | e^{C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm | 1 - x | C$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C | 1 - x |$