Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $\frac{1}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $\frac{y}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2}} = - \frac{y}{x^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Tambahkan $\frac{1}{x^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} \cdot \frac{- y + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{1}{- y + 1}$ dengan $\frac{- y + 1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- y + 1}{(- y + 1) x^{2}}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{- y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = - y + 1$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = - y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $- x^{- 1} + C_{2}$ sebagai $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| - y + 1 |) = - \frac{1}{x} + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| - y + 1 |)$ dengan $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{- \frac{1}{x}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{x}}{1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.2

Bagilah $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - 1 \cdot C$

Langkah 3.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{\frac{1}{x} - C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{x} - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{x} - C} = | - y + 1 |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{\frac{1}{x} - C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{\frac{1}{x} - C}$

Langkah 3.4.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{\frac{1}{x} - C} - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm e^{\frac{1}{x} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ sebagai $- (\pm e^{\frac{1}{x} - C})$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} - C}) + 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x} + C}) + 1$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{\frac{1}{x} + C}$ sebagai $e^{\frac{1}{x}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1}{x}} e^{C}) + 1$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{\frac{1}{x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\frac{1}{x}}) + 1$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C e^{\frac{1}{x}}) + 1$