Kalkulus Contoh

$(2 x y + y^{3}) d x + (x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 y^{2}$

Langkah 1.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Langkah 2.4

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} + 0$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $2 x + 3 y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2}$

Langkah 2.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 2 x$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2} + 2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3 y^{2} + 2 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} + 2 x = 3 y^{2} + 2 x$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$3 y^{2} + 2 x = 3 y^{2} + 2 x$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y + y^{3} d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = 2 x y + y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int y^{3} d x$

Langkah 5.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int y^{3} d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = y x^{2} + y^{3} x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2} + y^{3} x + g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y x^{2} + y^{3} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.3.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x^{2} + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} + 3 y^{2} x = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y - x^{2}$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y - x^{2} - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} + 3 x y^{2} - 2 y - x^{2} - 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 2 y + 0 - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $3 x y^{2} - 2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - 2 y - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - 2 y - 3 y^{2} x$

Langkah 9.1.3.4

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y + 0$

Langkah 9.1.3.5

Tambahkan $- 2 y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Langkah 10

Temukan $- 2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Langkah 10.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{2} + y^{3} x - y^{2} + C$