Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{2 y} \cdot \sin (x)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{2 y}}$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} \cdot \sin (x))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $e^{2 y}$ dari $e^{2 y} \cdot \sin (x)$ .

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} (\sin (x)))$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{2 y}} (e^{2 y} \sin (x))$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{2 y}} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{2 y}} d y = \sin (x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{2 y}} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{2 y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{2 y})}^{- 1} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{2 y \cdot - 1} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int 1 e^{- 2 y} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{- 2 y}$ dengan $1$ .

$\int e^{- 2 y} d y = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = - 2 y$ . Kemudian $d u = - 2 d y$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = - 2 y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Langkah 2.2.2.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 2} d u = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u) = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$- \frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 y$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2} e^{- 2 y} = - \cos (x) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $e^{- 2 y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 y}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Kalikan $e^{- 2 y}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $- 2 (- \cos (x) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 2 y} = - 2 (- \cos (x)) - 2 K$

Langkah 3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$e^{- 2 y} = 2 \cos (x) - 2 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 2 y}) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{- 2 y})$ dengan memindahkan $- 2 y$ ke luar logaritma.

$- 2 y \ln (e) = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- 2 y \cdot 1 = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 y = \ln (2 \cos (x) - 2 K)$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{- 2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) - 2 K)}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{\ln (2 \cos (x) + K)}{2}$