Kalkulus Contoh

$(2 x y + e^{y} + \cos (x)) d x + (x^{2} + x e^{y} - \sin (y)) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + e^{y} + \cos (x)]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + e^{y} + \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y} + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\cos (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y} + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $2 x + e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + e^{y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x e^{y} - \sin (y)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} + \frac{d}{d x} [- \sin (y)]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \sin (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2 x + e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x + e^{y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + e^{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + e^{y} = 2 x + e^{y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x + e^{y} = 2 x + e^{y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + x e^{y} - \sin (y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x^{2} + x e^{y} - \sin (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int x e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Langkah 5.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int x e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Langkah 5.3

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + x \int e^{y} d y + \int - \sin (y) d y$

Langkah 5.4

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) + \int - \sin (y) d y$

Langkah 5.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) - \int \sin (y) d y$

Langkah 5.6

Integral dari $\sin (y)$ terhadap $y$ adalah $- \cos (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + x (e^{y} + C) - (- \cos (y) + C)$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y x + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 y x + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.4.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$2 y x + e^{y} + \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.5

Karena $\cos (y)$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\cos (y)$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y x + e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + e^{y} + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.7.1

Tambahkan $2 y x + e^{y}$ dan $0$ .

$2 y x + e^{y} + \frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 8.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + e^{y} = 2 x y + e^{y} + \cos (x)$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = 2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y - e^{y}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y + e^{y} + \cos (x) - 2 x y - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $2 x y$ dengan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + e^{y} + \cos (x) - e^{y}$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $0$ dan $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + \cos (x) - e^{y}$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $e^{y}$ dengan $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \cos (x)$

Langkah 9.1.3.4

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \cos (x)$

Langkah 10

Temukan $\cos (x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \cos (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \cos (x) d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \cos (x) d x$

Langkah 10.3

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$g (x) = \sin (x) + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + x e^{y} + \cos (y) + \sin (x) + C$