Kalkulus Contoh

cari $\frac{d y}{d x}$ jika $4 x y - 3 y = 1$

Langkah 1

Tulis soal sebagai pernyataan matematika.

$\frac{d y}{d x} \cdot 4 x y - 3 y = 1$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\frac{d y}{d x}$ .

$4 \frac{d y}{d x} x y - 3 y = 1$

Langkah 2.1.2

Tambahkan $3 y$ ke kedua sisi persamaan.

$4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$

Langkah 2.1.3

Bagi setiap suku pada $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ dengan $4 x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Bagilah setiap suku di $4 \frac{d y}{d x} x y = 1 + 3 y$ dengan $4 x y$ .

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \frac{d y}{d x} x y}{4 x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} x y}{x y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} y}{y} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.1.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x}$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menuliskan $\frac{3}{4 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3}{4 x} \cdot \frac{y}{y}$

Langkah 2.2.2

Kalikan $\frac{3}{4 x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x y} + \frac{3 y}{4 x y}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 x y}$

Langkah 2.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 2.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{4 y}{1 + 3 y}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} (\frac{1 + 3 y}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $\frac{1 + 3 y}{4 y}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Langkah 2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $4 y$ dari $4 y x$ .

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y (x)}$

Langkah 2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{4 y x}$

Langkah 2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Langkah 2.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 3 y} \cdot \frac{1 + 3 y}{x}$

Langkah 2.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 2.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{4 y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{y}{1 + 3 y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.2

Susun kembali $1$ dan $3 y$ .

$4 \int \frac{y}{3 y + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.3

Bagilah $y$ dengan $3 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$3 y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 3.2.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $3 y$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 3.2.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{3}$
$3 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Langkah 3.2.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$4 \int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$4 (\int \frac{1}{3} d y + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.5

Terapkan aturan konstanta.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 y + 1)} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{3} y + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y)) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 y + 1} d y) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.9

Biarkan $u = 3 y + 1$ . Kemudian $d u = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Biarkan $u = 3 y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1.1

Diferensialkan $3 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 1]$

Langkah 3.2.9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.9.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 3.2.9.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 3.2.9.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 3.2.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.10.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.10.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.11

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.12.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.12.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$4 (\frac{y}{3} + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.14

Sederhanakan.

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| u |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.2.15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 y + 1$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 3.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$4 (\frac{1}{3} y - \frac{1}{9} \ln (| 3 y + 1 |)) = \ln (| x |) + C$