Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = \sqrt{y}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik Bernoulli.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.3

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{2}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{2}$

Langkah 5

Ambil turunan dari $v^{2}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ambil turunan dari $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' = 2 u \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Langkah 6

Substitusikan $2 v v'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{2}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Bagi setiap suku pada $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 v$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Bagilah setiap suku di $2 v \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{2} = {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ dengan $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.2.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v^{2}}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $v^{2}$ dan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.3.1

Faktorkan $v$ dari $\frac{1}{x} v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{2 v} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.1

Faktorkan $v$ dari $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v (\frac{1}{x} v)}{v \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{1}{x} v}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $v$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{\frac{v}{x}}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.6

Kalikan $\frac{v}{x}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x \cdot 2} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.2.1.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{{(v^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{2 (\frac{1}{2})}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v^{1}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.1.2

Sederhanakan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{v}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.1.2

Faktorkan $v$ dari $\frac{v}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Langkah 7.1.3

Susun kembali $v$ dan $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{2 x} v = \frac{1}{2}$

Langkah 7.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{1}{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{2 x} d x}$

Langkah 7.2.2

Integralkan $\frac{1}{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 7.2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan.

$e^{\frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Langkah 7.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{1}{2} \ln (x)}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 7.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2 x} v) = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2 x}$ dan $v$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + x^{\frac{1}{2}} \frac{v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.2

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{v}{2 x}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{x^{\frac{1}{2}} v}{2 x} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x)} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + 1}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.2.4.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}$

Langkah 7.3.3

Gabungkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d v}{d x} + \frac{v}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 7.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 7.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} v] d x = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Langkah 7.6

Integralkan sisi kiri.

$x^{\frac{1}{2}} v = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} d x$

Langkah 7.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 7.7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Langkah 7.7.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 (1)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.7.3.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.7.3.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Langkah 7.8

Bagi setiap suku pada $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Bagilah setiap suku di $x^{\frac{1}{2}} v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ dengan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} v}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.2.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.1

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.2

Kalikan $x^{\frac{3}{2}}$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.3.1.2.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$v = \frac{1}{3} (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$v = \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 + 3}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$v = \frac{1}{3} x^{\frac{2}{2}} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.2.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$v = \frac{1}{3} x^{1} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{3} x^{1}$ .

$v = \frac{1}{3} x + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.8.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$v = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8

Substitusikan $y^{\frac{1}{2}}$ untuk $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^{\frac{1}{2}}}$