Kalkulus Contoh

$y d x + x^{3} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{3} d y = - y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{3} y}$ .

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{3}$ dari $x^{3} y$ .

$\frac{1}{x^{3} (y)} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{3} y} x^{3} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x^{3} y} (- y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3} y} y d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{3} y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3} y} y d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $x^{3} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y x^{3}} y d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{3}} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Langkah 4.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Pindahkan $x^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x^{- 3} d x$

Langkah 4.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2})$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2})$

Langkah 4.3.4.1.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2})$

Langkah 4.3.4.2

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.4.3.2

Kalikan $\frac{1}{2 x^{2}}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = \frac{1}{2 x^{2}} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C} = | y |$

Langkah 5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Langkah 5.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{\frac{1}{2 x^{2}} + C}$ sebagai $e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{1}{2 x^{2}}} e^{C}$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{1}{2 x^{2}}}$