Kalkulus Contoh

$(\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = e^{x^{2} + y^{2}}$

Langkah 1

Biarkan $v_{1} = x^{2} + y^{2}$ . Masukkan $v_{1}$ untuk semua kejadian $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{y}{x} \frac{d y}{d x} = e^{v_{1}}$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v_{1}}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $x^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 x + 2 y y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d v_{1}}{d x} = 2 y y' + 2 x$

$\frac{d v}{d x} = 2 y y' + 2 x$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = e^{v_{1}}$

Langkah 4

Biarkan $v_{2} = e^{v_{1}}$ . Masukkan $v_{2}$ untuk semua kejadian $e^{v_{1}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x}{2 x} = v_{2}$

Langkah 5

Tentukan $\frac{d v_{2}}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $e^{v_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = v_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Langkah 5.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $v_{1}$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} \frac{d}{d x} [v_{1}]$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v_{1}]$ sebagai $v_{1}'$ .

$\frac{d v_{2}}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

$\frac{d v}{d x} = e^{v_{1}} v_{1}'$

Langkah 6

Substitusikan $v_{2}$ untuk $e^{v_{1}}$ .

$\frac{d v}{d x} = v_{2} v_{1}'$

Langkah 7

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2}}{2 v_{2} x} = v_{2}$

Langkah 8

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan kedua ruas dengan $2 v_{2} x$ .

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1

Sederhanakan $\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (2 v_{2} x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 v x} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 v_{2} x$ .

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{2 (v (x))} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d x} - 2 x v}{v (x)} (v_{2} (x)) = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v_{2} = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v_{2} x = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.1.1.4.2

Susun kembali $\frac{d v}{d x}$ dan $- 2 v_{2} x$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = v (2 v x)$

Langkah 8.1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.2.1

Sederhanakan $v (2 v x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 v (v x)$

Langkah 8.1.2.2.1.2

Kalikan $v_{2}$ dengan $v_{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.2.1.2.1

Pindahkan $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 (v \cdot v) x$

Langkah 8.1.2.2.1.2.2

Kalikan $v_{2}$ dengan $v_{2}$ .

$- 2 v_{2} x + \frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x$

Langkah 8.1.3

Tambahkan $2 v_{2} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d v}{d x} = 2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$

Langkah 8.2

Faktorkan $2 v_{2} x$ dari $2 {v_{2}}^{2} x + 2 v_{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Faktorkan $2 v_{2} x$ dari $2 {v_{2}}^{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x$

Langkah 8.2.2

Faktorkan $2 v_{2} x$ dari $2 v_{2} x$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$

Langkah 8.2.3

Faktorkan $2 v_{2} x$ dari $2 v_{2} x (v_{2}) + 2 v_{2} x (1)$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 v_{2} x (v_{2} + 1)$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (2 v_{2} x (v_{2} + 1))$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Langkah 8.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} x (v_{2} + 1))$

Langkah 8.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2} (v_{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Faktorkan $v_{2} (v_{2} + 1)$ dari $v_{2} x (v_{2} + 1)$ .

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) (x))$

Langkah 8.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{v_{2} (v_{2} + 1)} (v_{2} (v_{2} + 1) x)$

Langkah 8.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} \frac{d v}{d x} = 2 x$

Langkah 8.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v = 2 x d x$

$\frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = 2 x d x$

Langkah 9

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v_{2} (v_{2} + 1)} d v_{2} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $v (v + 1)$ .

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (v (v + 1))}{v (v + 1)} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (v + 1)}{v + 1} = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (v (v + 1))}{v} + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5.1.2

Bagilah $A (v_{2} + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (v + 1) + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A (v) + A \cdot 1 + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $v_{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A (v) + A + \frac{B (v (v + 1))}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.1.5.4.2

Bagilah $B v_{2}$ dengan $1$ .

$1 = A v + A + B v$

Langkah 9.2.1.1.6

Pindahkan $A$ .

$1 = A v + B v + A$

Langkah 9.2.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $v_{2}$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 9.2.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $v_{2}$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 9.2.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 9.2.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Langkah 9.2.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Langkah 9.2.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Langkah 9.2.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Langkah 9.2.1.3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 9.2.1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - 1 A = 1$

Langkah 9.2.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - 1, A = 1$

Langkah 9.2.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{v} + \frac{B}{v + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{v} + \frac{- 1}{v + 1}$

Langkah 9.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{v_{2}} - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{v_{2}} d v_{2} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.3

Integral dari $\frac{1}{v_{2}}$ terhadap $v_{2}$ adalah $\ln (| v_{2} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $v_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{v_{2} + 1} d v_{2} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.5

Biarkan $u_{3} = v_{2} + 1$ . Kemudian $d u_{3} = d v_{2}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{3}$ dan $d$ $u_{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1

Biarkan $u_{3} = v_{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{3}}{d v_{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.5.1.1

Diferensialkan $v_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2} + 1]$

Langkah 9.2.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $v_{2} + 1$ terhadap $v_{2}$ adalah $\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d v_{2}} [v_{2}] + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Langkah 9.2.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d v_{2}} [{v_{2}}^{n}]$ adalah $n {v_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v_{2}} [1]$

Langkah 9.2.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $v_{2}$ , turunan dari $1$ terhadap $v_{2}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 9.2.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 9.2.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{3}$ dan $d u_{3}$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.6

Integral dari $\frac{1}{u_{3}}$ terhadap $u_{3}$ adalah $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| v_{2} |) + C_{1} - (\ln (| u_{3} |) + C_{2}) = \int 2 x d x$

Langkah 9.2.7

Sederhanakan.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \int 2 x d x$

Langkah 9.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 \int x d x$

Langkah 9.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 9.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 9.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 9.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = 1 x^{2} + C_{4}$

Langkah 9.3.3.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) + C_{3} = x^{2} + C_{4}$

Langkah 9.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| v_{2} |) - \ln (| u_{3} |) = x^{2} + C$

Langkah 10

Selesaikan $v_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$

Langkah 10.2

Untuk menyelesaikan $v_{2}$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |})} = e^{x^{2} + C}$

Langkah 10.3

Tulis kembali $\ln (\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}) = x^{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = \frac{| v_{2} |}{| u_{3} |}$

Langkah 10.4

Selesaikan $v_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} = e^{x^{2} + C}$

Langkah 10.4.2

Kalikan kedua ruas dengan $| u_{3} |$ .

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Langkah 10.4.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| u_{3} |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| v_{2} |}{| u_{3} |} | u_{3} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Langkah 10.4.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| v_{2} | = e^{x^{2} + C} | u_{3} |$

Langkah 10.4.4

Selesaikan $v_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{2} + C} | u_{3} |$ .

$| v_{2} | = | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Langkah 10.4.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | e^{x^{2} + C}$

Langkah 11

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali $e^{x^{2} + C}$ sebagai $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{x^{2}} e^{C})$

Langkah 11.2

Susun kembali $e^{x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$v_{2} = \pm | u_{3} | (e^{C} e^{x^{2}})$

Langkah 11.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v_{2} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $v_{2}$ dengan $e^{v_{1}}$ .

$e^{v_{1}} = C | u_{3} | e^{x^{2}}$

Langkah 13

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{v_{1}}) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Langkah 13.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Perluas $\ln (e^{v_{1}})$ dengan memindahkan $v_{1}$ ke luar logaritma.

$v_{1} \ln (e) = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Langkah 13.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$v_{1} \cdot 1 = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Langkah 13.2.3

Kalikan $v_{1}$ dengan $1$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$

Langkah 13.3

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Tulis kembali $\ln (C | u_{3} | e^{x^{2}})$ sebagai $\ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Langkah 13.3.2

Tulis kembali $\ln (C | u_{3} |)$ sebagai $\ln (C) + \ln (| u_{3} |)$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + \ln (e^{x^{2}})$

Langkah 13.3.3

Perluas $\ln (e^{x^{2}})$ dengan memindahkan $x^{2}$ ke luar logaritma.

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \ln (e)$

Langkah 13.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2} \cdot 1$

Langkah 13.3.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$v_{1} = \ln (C) + \ln (| u_{3} |) + x^{2}$

Langkah 13.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$v_{1} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $v_{1}$ dengan $x^{2} + y^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2}$

Langkah 15

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$

Langkah 15.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (C | u_{3} |) + x^{2} - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.2.1

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |) + 0$

Langkah 15.1.2.2

Tambahkan $\ln (C | u_{3} |)$ dan $0$ .

$y^{2} = \ln (C | u_{3} |)$

Langkah 15.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Langkah 15.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Langkah 15.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

Langkah 15.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$

$y = - \sqrt{\ln (C | u_{3} |)}$