Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d y} + 1 = e^{x + y}$

Langkah 1

Biarkan $v = e^{x + y}$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $e^{x + y}$ .

$\frac{d x}{d y} + 1 = v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d y}$ dengan mendiferensiasikan $e^{x + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + y$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d y} [x]$ sebagai $x'$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{d v}{d y} = e^{x + y} (x' + 1)$

Langkah 3

Substitusikan $v$ untuk $e^{x + y}$ .

$\frac{d v}{d y} = v (x' + 1)$

Langkah 4

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} + 0 = v$

Langkah 4.2

Tambahkan $\frac{\frac{d v}{d y}}{v}$ dan $0$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} = v$

Langkah 5

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Selesaikan $\frac{d v}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan kedua ruas dengan $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d v}{d y}}{v} v = v \cdot v$

Langkah 5.1.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d y} = v \cdot v$

Langkah 5.1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.2.1

Kalikan $v$ dengan $v$ .

$\frac{d v}{d y} = v^{2}$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $v^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = \frac{1}{v^{2}} v^{2}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d y} = 1$

Langkah 5.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v^{2}} d v = 1 d y$

Langkah 6

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int d y$

Langkah 6.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Pindahkan $v^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int d y$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int d y$

Langkah 6.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int d y$

Langkah 6.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $v^{- 2}$ terhadap $v$ adalah $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int d y$

Langkah 6.2.3

Tulis kembali $- v^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int d y$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = y + C_{2}$

Langkah 6.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{v} = y + K$

Langkah 7

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$v, 1, 1$

Langkah 7.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$v$

Langkah 7.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{v} = y + K$ dengan $v$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{v} = y + K$ dengan $v$ .

$- \frac{1}{v} v = y v + K v$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{v}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{v} v = y v + K v$

Langkah 7.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = y v + K v$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y v + K v = - 1$ .

$y v + K v = - 1$

Langkah 7.3.2

Faktorkan $v$ dari $y v + K v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Faktorkan $v$ dari $y v$ .

$v y + K v = - 1$

Langkah 7.3.2.2

Faktorkan $v$ dari $K v$ .

$v y + v K = - 1$

Langkah 7.3.2.3

Faktorkan $v$ dari $v y + v K$ .

$v (y + K) = - 1$

Langkah 7.3.3

Bagi setiap suku pada $v (y + K) = - 1$ dengan $y + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Bagilah setiap suku di $v (y + K) = - 1$ dengan $y + K$ .

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Langkah 7.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v (y + K)}{y + K} = \frac{- 1}{y + K}$

Langkah 7.3.3.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{- 1}{y + K}$

Langkah 7.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$v = - \frac{1}{y + K}$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $e^{x + y}$ .

$e^{x + y} = - \frac{1}{y + K}$

Langkah 9

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x + y}) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Langkah 9.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Perluas $\ln (e^{x + y})$ dengan memindahkan $x + y$ ke luar logaritma.

$(x + y) \ln (e) = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Langkah 9.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(x + y) \cdot 1 = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Langkah 9.2.3

Kalikan $x + y$ dengan $1$ .

$x + y = \ln (- \frac{1}{y + K})$

Langkah 9.3

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = \ln (- \frac{1}{y + K}) - y$