Kalkulus Contoh

$x d y - (x^{2} y^{2} + y) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x^{2} y^{2} + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} y^{2} + y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x^{2} y^{2} + y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} y^{2} + y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.4

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2} y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 \cdot x^{2} y + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y + 1)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (x^{2} y) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.8.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x^{2} y - 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 x^{2} y - 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 x^{2} y - 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $- 2 x^{2} y - 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $- (x^{2} y^{2} + y)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $- (x^{2} y^{2} + y)$ untuk $M$ .

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y - 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 - (- 2 x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) - - 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + 2 (x^{2} y) + 1}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 x^{2} y + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.5

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.5.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 (1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.2.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} y) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (x^{2} y^{2} + y)}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y)}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y^{1})}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y) + y \cdot 1)}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $y$ dari $y (x^{2} y) + y \cdot 1$ .

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- (y (x^{2} y + 1))}$

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (x^{2} y + 1)}{- y (x^{2} y + 1)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- y}$

Langkah 5.3.5

Substitusikan $- (x^{2} y^{2} + y)$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 6.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Langkah 6.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Langkah 6.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- (x^{2} y^{2} + y) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (x^{2} y^{2} + y)$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- (x^{2} y^{2} + y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(- (x^{2} y^{2}) - y) \frac{1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- x^{2} y^{2} - y$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} y^{2} - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Faktorkan $y$ dari $- x^{2} y^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Faktorkan $y$ dari $- x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y) - y}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.4.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$\frac{y (- x^{2} y) + y \cdot - 1}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.4.3

Faktorkan $y$ dari $y (- x^{2} y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (- x^{2} y - 1)}{y \cdot y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{2} y - 1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} y$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y) - 1 (1)}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} y) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.9

Tulis kembali $- (x^{2} y + 1)$ sebagai $- 1 (x^{2} y + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} y + 1)}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x d y = 0$

Langkah 7.11

Kalikan $x$ dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7.12

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} y + 1}{y} d x + \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{x}{y^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Langkah 9.2

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$f (x, y) = x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Langkah 9.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Langkah 9.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = x \int y^{- 2} d y$

Langkah 9.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = x (- y^{- 1} + C)$

Langkah 9.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Tulis kembali $x (- y^{- 1} + C)$ sebagai $x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = x (- \frac{1}{y}) + C$

Langkah 9.5.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y} + g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{x}{y} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $- \frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{y}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} = - \frac{x^{2} y + 1}{y}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{x^{2} y + 1}{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{y} + \frac{x^{2} y + 1}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1 + x^{2} y + 1}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $- 1 + x^{2} y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y + 0}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.3.2

Tambahkan $x^{2} y$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} y}{y} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x^{2} = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Langkah 14

Temukan $- x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Langkah 14.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 14.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 16

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} - \frac{x^{3}}{3} + C$