Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = e^{t}$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = e^{t}$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = e^{t}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = \frac{1}{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (t)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$t$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t e^{t}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{t}$ dan $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t e^{t}$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$t \frac{d y}{d t} + y = t e^{t}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [t y] = t e^{t}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int t e^{t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$t y = \int t e^{t} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t$ dan $d v = e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - \int e^{t} d t$

Langkah 7.2

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$t y = t e^{t} - (e^{t} + C)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$t y = t e^{t} - e^{t} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $t y = t e^{t} - e^{t} + C$ dengan $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t y}{t} = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{t e^{t}}{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.1.2

Bagilah $e^{t}$ dengan $1$ .

$y = e^{t} + \frac{- e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 8.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $t$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = e^{t} - \frac{e^{t}}{t} + \frac{C}{t}$ .

$0 = e^{0} - \frac{e^{0}}{0} + \frac{C}{0}$

Langkah 10

Persamaan memiliki pecahan yang tidak terdefinisikan.

$Tidak terdefinisi$