Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 3 y = 6 e^{5 x}$ ; with $y (0) = 5$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 3 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{3 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{3 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} (6 e^{5 x})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{3 x} e^{5 x}$

Langkah 2.4

Kalikan $e^{3 x}$ dengan $e^{5 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $e^{5 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 (e^{5 x} e^{3 x})$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{5 x + 3 x}$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $5 x$ dan $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$

Langkah 2.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = 6 e^{8 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = 6 e^{8 x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = 6 e^{8 x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int 6 e^{8 x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{3 x} y = \int 6 e^{8 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 6 \int e^{8 x} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 8 x$ . Kemudian $d u = 8 d x$ sehingga $\frac{1}{8} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 8 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{3 x} y = 6 \int e^{u} \frac{1}{8} d u$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$e^{3 x} y = 6 \int \frac{e^{u}}{8} d u$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$e^{3 x} y = 6 (\frac{1}{8} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan $\frac{1}{8}$ dan $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{6}{8} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 (3)}{8} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 x} y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $8 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ dengan $e^{3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{3 x} y = \frac{3}{4} e^{8 x} + C$ dengan $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{8 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{8 x}$ dan $e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{3 x}$ dari $\frac{3}{4} e^{8 x}$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{3 x} (\frac{3}{4} e^{5 x})}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{3}{4} e^{5 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{3}{4} e^{5 x}$ dengan $1$ .

$y = \frac{3}{4} e^{5 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $e^{5 x}$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ .

$5 = \frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$ .

$\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Langkah 9.2

Sederhanakan $\frac{3 e^{5 \cdot 0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{3 \cdot 1}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Langkah 9.2.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Langkah 9.2.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Langkah 9.2.2.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{3}{4} + \frac{C}{1} = 5$

Langkah 9.2.2.4

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$\frac{3}{4} + C = 5$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kurangkan $\frac{3}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 5 - \frac{3}{4}$

Langkah 9.3.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$C = 5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{4}{4}$ .

$C = \frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

Langkah 9.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$C = \frac{5 \cdot 4 - 3}{4}$

Langkah 9.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.5.1

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$C = \frac{20 - 3}{4}$

Langkah 9.3.5.2

Kurangi $3$ dengan $20$ .

$C = \frac{17}{4}$

Langkah 10

Substitusikan $\frac{17}{4}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{C}{e^{3 x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $\frac{17}{4}$ untuk $C$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{\frac{17}{4}}{e^{3 x}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4} \cdot \frac{1}{e^{3 x}}$

Langkah 10.2.2

Gabungkan.

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17 \cdot 1}{4 e^{3 x}}$

Langkah 10.2.3

Kalikan $17$ dengan $1$ .

$y = \frac{3 e^{5 x}}{4} + \frac{17}{4 e^{3 x}}$