Kalkulus Contoh

$(x^{2} + 1) d x + x^{2} y^{2} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(x^{2} + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} (x^{2} + 1) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1) d x$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y^{2} d y = (- 1 - \frac{1}{x^{2}}) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - \int x^{- 2} d x$

Langkah 4.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + C_{2} - (- x^{- 1} + C_{3})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x - - \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + 1 \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.3.6.2.2

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - x + \frac{1}{x} + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - x + \frac{1}{x} + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (- x + \frac{1}{x} + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $3 (- x + \frac{1}{x} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y^{3} = - 3 x + 3 \frac{1}{x} + 3 K$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$y^{3} = - 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$

Langkah 5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$

Langkah 5.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x + \frac{3}{x} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + \frac{3}{x} + 3 K}$

Langkah 5.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $\frac{3}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x) + 3 \frac{1}{x} + 3 K}$

Langkah 5.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 (- x) + 3 \frac{1}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K}$

Langkah 5.4.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (- x + \frac{1}{x}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x + \frac{1}{x} + K)}$

Langkah 5.4.2

Untuk menuliskan $- x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- x \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Gabungkan $- x$ dan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + K)}$

Langkah 5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1}{x} + K)}$

Langkah 5.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x \cdot x + 1^{2}}{x} + K)}$

Langkah 5.4.4.2

Tulis kembali $x \cdot x$ sebagai $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{- x^{2} + 1^{2}}{x} + K)}$

Langkah 5.4.4.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{1^{2} - x^{2}}{x} + K)}$

Langkah 5.4.4.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + K)}$

Langkah 5.4.5

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x} + \frac{K x}{x})}$

Langkah 5.4.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{(1 + x) (1 - x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1

Perluas $(1 + x) (1 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 (1 - x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.1.2

Kalikan $- x$ dengan $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x + x (- x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x \cdot x + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.7.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - (x \cdot x) + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x + x - x^{2} + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 + 0 - x^{2} + K x}{x}}$

Langkah 5.4.7.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{1 - x^{2} + K x}{x}}$

Langkah 5.4.8

Gabungkan $3$ dan $\frac{1 - x^{2} + K x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$

Langkah 5.4.9

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (1 - x^{2} + K x)}{x}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$

Langkah 5.4.10

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 5.4.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)}}{\sqrt[3]{x}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 5.4.11.2

Naikkan $\sqrt[3]{x}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Langkah 5.4.11.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Langkah 5.4.11.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Langkah 5.4.11.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ sebagai $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 5.4.11.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 5.4.11.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.4.11.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.4.11.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Langkah 5.4.11.5.5

Sederhanakan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Langkah 5.4.12

Tulis kembali ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x)} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Langkah 5.4.13

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$

Langkah 5.4.14

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{3 (1 - x^{2} + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x^{2} (1 - x^{2} + K x)}}{x}$