Kalkulus Contoh

$(y + 1) d x + (4 x - 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(4 x - 1) d y = - (y + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (4 x - 1) d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (4 x - 1) d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(4 x - 1) (y + 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(4 x - 1) (y + 1)} (y + 1) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 1$ dari $(4 x - 1) (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (4 x - 1)} (y + 1) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (4 x - 1)} (y + 1) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{4 x - 1} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 x - 1} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 4 x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 4 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x - 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{4} \ln (| 4 x - 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{4} \ln (| 4 x - 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\ln (| 4 x - 1 |)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\ln (| y + 1 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot \frac{4}{4} + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $\ln (| y + 1 |)$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\ln (| y + 1 |) \cdot 4}{4} + \frac{\ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y + 1 |) \cdot 4 + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\ln (| y + 1 |)$ .

$\frac{4 \ln (| y + 1 |) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $\frac{4 \ln (| y + 1 |) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Sederhanakan $4 \ln (| y + 1 |)$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y + 1 |}^{4}) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y + 1 |}^{4}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln ({(y + 1)}^{4}) + \ln (| 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.6.1.1.3

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}{4} = C$

Langkah 5.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}{4}$ sebagai $\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)$ .

$\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |) = C$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln ({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({({(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |)}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke ${(y + 1)}^{4} | 4 x - 1 |$ .

$\ln ({({(y + 1)}^{4})}^{\frac{1}{4}} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.5

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 1)}^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4 (\frac{1}{4})} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln ({(y + 1)}^{4 (\frac{1}{4})} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln ({(y + 1)}^{1} {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.6

Sederhanakan.

$\ln ((y + 1) {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.7

Terapkan sifat distributif.

$\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + 1 {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.6.1.8

Kalikan ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ dengan $1$ .

$\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}})} = e^{C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C}$ .

$y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} + {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C}$

Langkah 5.9.2

Kurangkan ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$

Langkah 5.9.3

Bagi setiap suku pada $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ dengan ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Bagilah setiap suku di $y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}} = e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ dengan ${| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 5.9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 5.9.3.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}} + \frac{- {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 5.9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{C} - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C - {| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}{{| 4 x - 1 |}^{\frac{1}{4}}}$