Kalkulus Contoh

$y (x - 1) d y + x (y - 1) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x (y - 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (x - 1) d y = - x (y - 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x - 1$ dari $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x - 1) (y - 1)} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 1} y d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{y - 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (- x (y - 1)) d x$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(x - 1) (y - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(x - 1) (y - 1)} (x (y - 1)) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y - 1$ dari $(x - 1) (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} (x (y - 1)) d x$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $y - 1$ dari $x (y - 1)$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Langkah 3.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (x - 1)} ((y - 1) x) d x$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- 1}{x - 1} x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{- 1}{x - 1}$ dan $x$ .

$\frac{y}{y - 1} d y = \frac{- x}{x - 1} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{y - 1} d y = - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Bagilah $y$ dengan $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	-	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	-	$1$

Langkah 4.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y - 1$

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$

Langkah 4.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	-	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	+	$1$
					+	$1$

Langkah 4.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$\int 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.4

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Biarkan $u_{1} = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 4.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 4.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 4.2.4.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.5

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan.

$y + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.2.7

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int - \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x - 1} d x$

Langkah 4.3.2

Bagilah $x$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 4.3.2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 4.3.2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Langkah 4.3.2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Langkah 4.3.2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Langkah 4.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - \int 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Langkah 4.3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Langkah 4.3.5

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Biarkan $u_{2} = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 4.3.5.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| u_{2} |)) + C_{6}$

Langkah 4.3.8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x - 1$ .

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - (x + \ln (| x - 1 |)) + C_{6}$

Langkah 4.3.9

Terapkan sifat distributif.

$y + \ln (| y - 1 |) + C_{3} = - x - \ln (| x - 1 |) + C_{6}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y + \ln (| y - 1 |) = - x - \ln (| x - 1 |) + C$