Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x} d y = \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 1

Kalikan kedua ruas dengan $x y^{2}$ .

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$x (y^{2}) \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x y^{2} \frac{1}{x} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = x y^{2} \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $x y^{2}$ .

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} d y = y^{2} x \frac{e^{x^{2}}}{y^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = x e^{x^{2}} d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 3.3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 3.3.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 3.3.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 3.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 3.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} u_{2} + C_{2}$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Langkah 4.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Langkah 4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{2} e^{x^{2}} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)$

Langkah 4.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Langkah 4.2.2.1.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{e^{x^{2}}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$

Langkah 4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Langkah 4.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $\frac{3 e^{x^{2}}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Langkah 4.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K}$

Langkah 4.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 \frac{e^{x^{2}}}{2} + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K)}$

Langkah 4.4.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Langkah 4.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{e^{x^{2}}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Langkah 4.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + K \cdot 2}{2}}$

Langkah 4.4.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}}$

Langkah 4.4.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{e^{x^{2}} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$

Langkah 4.4.6

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 4.4.7

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.8.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.8.2

Naikkan $\sqrt[3]{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 4.4.8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Langkah 4.4.8.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Langkah 4.4.8.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.8.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 4.4.8.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 4.4.8.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 4.4.8.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.8.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 4.4.8.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.4.8.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Langkah 4.4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.9.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Langkah 4.4.9.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Langkah 4.4.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.10.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (e^{x^{2}} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Langkah 4.4.10.2

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + 2 K)}}{2}$

Langkah 5

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (e^{x^{2}} + K)}}{2}$