Kalkulus Contoh

$y' \tan (x) = 2 y - 8$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$

Langkah 2

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi setiap suku pada $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ dengan $\tan (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Bagilah setiap suku di $\frac{d y}{d x} \tan (x) = 2 y - 8$ dengan $\tan (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} \tan (x)}{\tan (x)} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{\tan (x)}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)}$

Langkah 2.1.3.1.2

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Langkah 2.1.3.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Langkah 2.1.3.1.4

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} + \frac{- 8}{1} \cot (x)$

Langkah 2.1.3.1.5

Bagilah $- 8$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Langkah 2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $\frac{2 y}{\tan (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} - 8 \cot (x)$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $2$ dari $- 8 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 \frac{y}{\tan (x)} + 2 (- 4 \cot (x))$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\tan (x)} - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.2.4

Konversikan dari $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ ke $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\frac{y}{1} \cot (x) - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.2.5

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (y \cot (x) - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $\cot (x)$ dari $y \cot (x) - 4 \cot (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Faktorkan $\cot (x)$ dari $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y - 4 \cot (x))$

Langkah 2.2.3.1.2

Faktorkan $\cot (x)$ dari $- 4 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4)$

Langkah 2.2.3.1.3

Faktorkan $\cot (x)$ dari $\cot (x) y + \cot (x) \cdot - 4$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (\cot (x) (y - 4))$

Langkah 2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cot (x) (y - 4)$

Langkah 2.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 \cot (x) (y - 4))$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Langkah 2.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (\cot (x) (y - 4))$

Langkah 2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.3.1

Faktorkan $y - 4$ dari $\cot (x) (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Langkah 2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) \cot (x))$

Langkah 2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \cot (x)$

Langkah 2.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 \cot (x) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Biarkan $u = y - 4$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Biarkan $u = y - 4$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Langkah 3.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 4$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Langkah 3.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Langkah 3.2.1.1.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 3.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 3.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 \cot (x) d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int \cot (x) d x$

Langkah 3.3.2

Integral dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\ln (| \sin (x) |) + C_{2})$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = 2 \ln (| \sin (x) |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |) = C$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $\ln (| y - 4 |) - 2 \ln (| \sin (x) |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| \sin (x) |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y - 4 |) - \ln ({| \sin (x) |}^{2}) = C$

Langkah 4.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| \sin (x) |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y - 4 |) - \ln (\sin^{2} (x)) = C$

Langkah 4.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x)}) = C$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan dengan $1$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{\sin^{2} (x) \cdot 1}) = C$

Langkah 4.2.1.4

Pisahkan pecahan.

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)}) = C$

Langkah 4.2.1.5

Konversikan dari $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ ke $\csc^{2} (x)$ .

$\ln (\frac{| y - 4 |}{1} \csc^{2} (x)) = C$

Langkah 4.2.1.6

Bagilah $| y - 4 |$ dengan $1$ .

$\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$

Langkah 4.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x))} = e^{C}$

Langkah 4.4

Tulis kembali $\ln (| y - 4 | \csc^{2} (x)) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - 4 | \csc^{2} (x)$

Langkah 4.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ .

$| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$

Langkah 4.5.2

Bagi setiap suku pada $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ dengan $\csc^{2} (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Bagilah setiap suku di $| y - 4 | \csc^{2} (x) = e^{C}$ dengan $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\csc^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y - 4 | \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)} = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.2.2.1.2

Bagilah $| y - 4 |$ dengan $1$ .

$| y - 4 | = \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)}$

Langkah 4.5.4

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm \frac{e^{C}}{\csc^{2} (x)} + 4$

Langkah 5

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{C}{\csc^{2} (x)} + 4$

Langkah 5.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{1}{\csc^{2} (x)} + 4$