Kalkulus Contoh

$(y - x^{2}) d x + x d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y - x^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - x^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Langkah 1.4

Karena $- x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + 0$

Langkah 1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$1 = 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x y + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y - x^{2}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = y - x^{2}$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y - x^{2}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y - x^{2}$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y - x^{2}$

Langkah 8.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y - x^{2}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \frac{d g}{d x} = y - x^{2}$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y = y - x^{2}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y - x^{2} - y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y - x^{2} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2} + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $- x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{2}$

Langkah 10

Temukan $- x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{2} d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{2} d x$

Langkah 10.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int x^{2} d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 10.5

Tulis kembali $- (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $- \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y - \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 12

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = x y - \frac{x^{3}}{3} + C$