Kalkulus Contoh

$(1 + x^{2}) d y + y d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $y d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(1 + x^{2}) d y = - y d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1 + x^{2}$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- y) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} y d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x^{2})} y d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 4.3.3

Integral dari $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Langkah 4.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \arctan (x) + C}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - \arctan (x) + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \arctan (x) + C} = | y |$

Langkah 5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- \arctan (x) + C}$ .

$| y | = e^{- \arctan (x) + C}$

Langkah 5.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x) + C}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{- \arctan (x) + C}$ sebagai $e^{- \arctan (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \arctan (x)} e^{C}$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{- \arctan (x)}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \arctan (x)}$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- \arctan (x)}$