Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (\sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \sin (x) - e^{- x} + 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int \sin (x) d x + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int - e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int e^{- x} d x + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.4.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - \int - e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} - - \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + 1 \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $\int e^{u} d u$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + \int e^{u} d u + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + \int 8 x^{3} d x$

Langkah 2.3.8

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 \int x^{3} d x$

Langkah 2.3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{4})$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + C_{2} + e^{u} + C_{3} + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{4})$

Langkah 2.3.10.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{u} + 2 x^{4} + C_{5}$

Langkah 2.3.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$y + C_{1} = - \cos (x) + e^{- x} + 2 x^{4} + C_{5}$

Langkah 2.3.12

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = 2 x^{4} + e^{- x} - \cos (x) + K$