Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = e^{2 t} - 2 y$ , $y (1) = 2$

Langkah 1

Tambahkan $2 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d t} + 2 y = e^{2 t}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d t}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 t + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 t}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} e^{2 t}$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} e^{2 t}$

Langkah 3.3

Kalikan $e^{2 t}$ dengan $e^{2 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t + 2 t}$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 t$ dan $2 t$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$

Langkah 3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{4 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = e^{4 t}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = e^{4 t}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int e^{4 t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 t} y = \int e^{4 t} d t$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 4 t$ . Kemudian $d u = 4 d t$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = 4 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 7.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 7.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 7.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 t} y = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 t} y = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 7.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 7.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 t} y = \frac{1}{4} e^{4 t} + C$ dengan $e^{2 t}$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{4 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{4 t}$ dan $e^{2 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $e^{2 t}$ dari $\frac{1}{4} e^{4 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{2 t} (\frac{1}{4} e^{2 t})}{e^{2 t} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{4} e^{2 t}}{1} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{4} e^{2 t}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{4} e^{2 t} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 8.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{2 t}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $t$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ .

$2 = \frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$ .

$\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Langkah 10.2

Sederhanakan $\frac{e^{2 \cdot 1}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2 \cdot 1}} = 2$

Langkah 10.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2}}{4} + \frac{C}{e^{2}} = 2$

Langkah 10.3

Kurangkan $\frac{e^{2}}{4}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{C}{e^{2}} = 2 - \frac{e^{2}}{4}$

Langkah 10.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $e^{2}$ .

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Langkah 10.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2} \frac{C}{e^{2}} = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Langkah 10.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$C = e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Sederhanakan $e^{2} (2 - \frac{e^{2}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$C = e^{2} \cdot 2 + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Langkah 10.5.2.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} + e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$

Langkah 10.5.2.1.3

Kalikan $e^{2} (- \frac{e^{2}}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1.3.1

Gabungkan $e^{2}$ dan $\frac{e^{2}}{4}$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2} e^{2}}{4}$

Langkah 10.5.2.1.3.2

Kalikan $e^{2}$ dengan $e^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{2 + 2}}{4}$

Langkah 10.5.2.1.3.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$C = 2 \cdot e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

$C = 2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$

Langkah 11

Substitusikan $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ untuk $C$ dalam $y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{C}{e^{2 t}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}$ untuk $C$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Untuk menuliskan $2 e^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{2 e^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2.1.2

Gabungkan $2 e^{2}$ dan $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4}{4} - \frac{e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{2 e^{2} \cdot 4 - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4} \cdot \frac{1}{e^{2 t}}$

Langkah 11.2.3

Kalikan $\frac{8 e^{2} - e^{4}}{4}$ dengan $\frac{1}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Langkah 11.3

Untuk menuliskan $\frac{e^{2 t}}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t}}{4} \cdot \frac{e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Langkah 11.4

Kalikan $\frac{e^{2 t}}{4}$ dengan $\frac{e^{2 t}}{e^{2 t}}$ .

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t}}{4 e^{2 t}} + \frac{8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Langkah 11.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{2 t} e^{2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Langkah 11.6

Kalikan $e^{2 t}$ dengan $e^{2 t}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{e^{2 t + 2 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$

Langkah 11.6.2

Tambahkan $2 t$ dan $2 t$ .

$y = \frac{e^{4 t} + 8 e^{2} - e^{4}}{4 e^{2 t}}$