Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 6 x^{5} \cdot y = 12 x^{5}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 6 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 6 x^{5} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $6 x^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$e^{6 \int x^{5} d x}$

Langkah 1.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{6 (\frac{1}{6} x^{6} + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $6 (\frac{1}{6} x^{6} + C)$ sebagai $6 (\frac{1}{6}) x^{6} + C$ .

$e^{6 (\frac{1}{6}) x^{6} + C}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{6}$ .

$e^{\frac{6}{6} x^{6} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{6}{6} x^{6} + C}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 x^{6} + C}$

Langkah 1.2.3.2.3

Kalikan $x^{6}$ dengan $1$ .

$e^{x^{6} + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x^{6}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x^{6}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x^{6}}$ .

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + e^{x^{6}} (6 x^{5} \cdot y) = e^{x^{6}} (12 x^{5})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = e^{x^{6}} (12 x^{5})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = 12 e^{x^{6}} x^{5}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 e^{x^{6}} (x^{5} y) = 12 e^{x^{6}} x^{5}$ .

$e^{x^{6}} \frac{d y}{d x} + 6 x^{5} y e^{x^{6}} = 12 x^{5} e^{x^{6}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{6}} y] = 12 x^{5} e^{x^{6}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x^{6}} y] d x = \int 12 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x^{6}} y = \int 12 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$e^{x^{6}} y = 12 \int x^{5} e^{x^{6}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ sebagai ${u_{1}}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.2.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 6.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{1}}^{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.3.4

Gabungkan $\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ dan $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$e^{x^{6}} y = 12 \int \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{x^{6}} y = 12 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $12$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{12}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $12$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x^{6}} y = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x^{6}} y = \frac{6}{1} \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.5.2.2.4

Bagilah $6$ dengan $1$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Langkah 6.6

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Kemudian $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Biarkan $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Diferensialkan ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Langkah 6.6.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Langkah 6.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 6.7

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$e^{x^{6}} y = 6 \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Langkah 6.8

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{x^{6}} y = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 6.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $6$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{6}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9.2

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.9.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{x^{6}} y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{x^{6}} y = \frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.9.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$e^{x^{6}} y = 2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 6.10

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 (e^{u_{2}} + C)$

Langkah 6.11

Sederhanakan.

$e^{x^{6}} y = 2 e^{u_{2}} + C$

Langkah 6.12

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.12.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${u_{1}}^{3}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 e^{{u_{1}}^{3}} + C$

Langkah 6.12.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$ dengan $e^{x^{6}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x^{6}} y = 2 e^{{(x^{2})}^{3}} + C$ dengan $e^{x^{6}}$ .

$\frac{e^{x^{6}} y}{e^{x^{6}}} = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x^{6}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x^{6}} y}{e^{x^{6}}} = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3}}}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{{(x^{2})}^{3}}$ dan $e^{x^{6}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{x^{6}}$ dari $2 e^{{(x^{2})}^{3}}$ .

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{x^{6}} (2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}})}{e^{x^{6}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}}}{1} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}}$ dengan $1$ .

$y = 2 e^{{(x^{2})}^{3} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 2 e^{x^{2 \cdot 3} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = 2 e^{x^{6} - x^{6}} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.3

Kurangi $x^{6}$ dengan $x^{6}$ .

$y = 2 e^{0} + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.4

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{x^{6}}}$

Langkah 7.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = 2 + \frac{C}{e^{x^{6}}}$