Kalkulus Contoh

$x e^{x^{2} + y} d x = y d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x e^{x^{2} + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x e^{x^{2} + y}]$

Langkah 2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x e^{x^{2} + y}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [e^{x^{2} + y}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = x^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{u} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [x^{2} + y])$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 2.4.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} (0 + \frac{d}{d y} [y]))$

Langkah 2.4.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (e^{x^{2} + y} \cdot 1)$

Langkah 2.4.5

Kalikan $e^{x^{2} + y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x e^{x^{2} + y}$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x e^{x^{2} + y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x e^{x^{2} + y} = 0$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x e^{x^{2} + y} = 0$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $x e^{x^{2} + y}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x e^{x^{2} + y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x e^{x^{2} + y}$ untuk $M$ .

$\frac{0 - (x e^{x^{2} + y})}{x e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $x e^{x^{2} + y}$ dengan $0$ .

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x e^{x^{2} + y}}{x e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.3.4

Substitusikan $x e^{x^{2} + y}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- e^{x^{2} + y}}{e^{x^{2} + y}}$

Langkah 5.3.4.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - 1 d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $x e^{x^{2} + y} d x - y d y = 0$ dengan faktor integral $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $x e^{x^{2} + y}$ dengan $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2} + y} e^{- y} d x - y d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $e^{x^{2} + y}$ dengan $e^{- y}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pindahkan $e^{- y}$ .

$x (e^{- y} e^{x^{2} + y}) d x - y d y = 0$

Langkah 7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x e^{- y + x^{2} + y} d x - y d y = 0$

Langkah 7.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $- y + x^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$x e^{x^{2} + 0} d x - y d y = 0$

Langkah 7.2.3.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$x e^{x^{2}} d x - y d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- y$ dengan $e^{- y}$ .

$x e^{x^{2}} d x - y e^{- y} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{x^{2}} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = x e^{x^{2}}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Biarkan $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Diferensialkan $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Langkah 9.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Langkah 9.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Langkah 9.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Langkah 9.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 9.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{2} u_{2} + C$

Langkah 9.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - y e^{- y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)] = - y e^{- y}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Langkah 12.3

Karena $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} e^{x^{2}}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - y e^{- y}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Langkah 12.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$

Langkah 13

Temukan $- y e^{- y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - y e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y e^{- y} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y e^{- y} d y$

Langkah 13.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - \int y e^{- y} d y$

Langkah 13.4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = y$ dan $d v = e^{- y}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y)$

Langkah 13.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y)$

Langkah 13.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y)$

Langkah 13.6.2

Kalikan $\int e^{- y} d y$ dengan $1$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y)$

Langkah 13.7

Biarkan $u = - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.1

Biarkan $u = - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.1.1

Diferensialkan $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Langkah 13.7.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 13.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 13.7.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 13.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u)$

Langkah 13.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u)$

Langkah 13.9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (y) = - (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$

Langkah 13.10

Tulis kembali $- (y (- e^{- y}) - (e^{u} + C))$ sebagai $- (- y e^{- y} - e^{u}) + C$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{u}) + C$

Langkah 13.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- y$ .

$g (y) = - (- y e^{- y} - e^{- y}) + C$

Langkah 13.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.1

Terapkan sifat distributif.

$g (y) = - (- y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Langkah 13.12.2

Kalikan $- (- y e^{- y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = 1 (y e^{- y}) - - e^{- y} + C$

Langkah 13.12.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$g (y) = y e^{- y} - - e^{- y} + C$

Langkah 13.12.3

Kalikan $- - e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$g (y) = y e^{- y} + 1 e^{- y} + C$

Langkah 13.12.3.2

Kalikan $e^{- y}$ dengan $1$ .

$g (y) = y e^{- y} + e^{- y} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + y e^{- y} + e^{- y} + C$

Langkah 15

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{x^{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x^{2}}}{2} + y e^{- y} + e^{- y} + C$