Kalkulus Contoh

$(x - 2) \frac{d y}{d x} = y + 2 {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$

Langkah 1.2

Bagilah setiap suku di $(x - 2) \frac{d y}{d x} - y = 2 {(x - 2)}^{3}$ dengan $x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x - 2) \frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{3}}{x - 2}$

Langkah 1.4

Hapus faktor persekutuan dari ${(x - 2)}^{3}$ dan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $x - 2$ dari $2 {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{x - 2}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{(x - 2) (2 {(x - 2)}^{2})}{(x - 2) \cdot 1}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = \frac{2 {(x - 2)}^{2}}{1}$

Langkah 1.4.2.4

Bagilah $2 {(x - 2)}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Langkah 1.5

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x - 2} = 2 {(x - 2)}^{2}$

Langkah 1.6

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x - 2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x - 2} y = 2 {(x - 2)}^{2}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x - 2} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x - 2} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x - 2} d x}$

Langkah 2.2.3

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 2.2.3.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.2.3.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.3.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 2$ .

$e^{- \ln (| x - 2 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x - 2)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(x - 2)}^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(x - 2)}^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{1}{x - 2} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x - 2}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (\frac{- 1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} (- \frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} (\frac{1}{x - 2} y) = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x - 2}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{y}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x - 2}$ dengan $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{(x - 2) (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{1 + 1}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(x - 2)}^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $\frac{\frac{d y}{d x}}{x - 2}$ dengan $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{(x - 2) (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.4.2

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} (x - 2)} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.4.3

Naikkan $x - 2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{1 + 1}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x - 2) - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 2 - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.6.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1}{x - 2} (2 {(x - 2)}^{2})$

Langkah 3.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 \frac{1}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Langkah 3.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x - 2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} {(x - 2)}^{2}$

Langkah 3.9

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Faktorkan $x - 2$ dari ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Langkah 3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{2}{x - 2} ((x - 2) (x - 2))$

Langkah 3.9.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 (x - 2)$

Langkah 3.10

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x + 2 \cdot - 2$

Langkah 3.11

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Langkah 3.12

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\frac{d y}{d x} x - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} - 2 \frac{d y}{d x} - y}{{(x - 2)}^{2}} = 2 x - 4$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] = 2 x - 4$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2} y] d x = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{x - 2} y = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 4 d x$

Langkah 7.4

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 4 x + C$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 4 x + C$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{x - 2} y = x^{2} - 4 x + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{x - 2}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x - 2} = x^{2} - 4 x + C$

Langkah 8.2

Kalikan kedua ruas dengan $x - 2$ .

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x - 2} (x - 2) = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Langkah 8.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Perluas $(x^{2} - 4 x + C) (x - 2)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$y = x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} \cdot - 2 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.1.3.1

Pindahkan $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x \cdot - 2 + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x + C \cdot - 2$

Langkah 8.3.2.1.2.1.5

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Langkah 8.3.2.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.1

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $- 2 x^{2}$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + C x - 2 C$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.2.2.2.1

Pindahkan $8 x$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + C x - 2 C + 8 x$

Langkah 8.3.2.1.2.2.2.2

Pindahkan $- 6 x^{2}$ .

$y = x^{3} + C x - 6 x^{2} - 2 C + 8 x$